Přestože je jeho život s Těšínským divadlem velmi úzce spjat, působí zde Josef Bičiště už osmnáctým rokem pouze jako host. I tak se ale stále cítí být plnohodnotným členem souboru.
V divadelním světě se pohybuje od raného dětství. Herecké vzdělání získal na brněnské konzervatoři, ale už jako malý kluk hrál v Klicperově divadle v Hradci Králové. Na vojně pak působil ve vojenském uměleckém souboru a od roku 1982 je součástí Těšínského divadla.
Na těšínském jevišti se poprvé objevil jako Lucius v proslulé pohádce Hrátky s čertem. Nebyla to jeho poslední pohádková role – i dnes se objevuje ve hrách, které baví především mladší generaci. Můžeme ho vidět například jako Stydlína ve Sněhurce či pavouka ve Ferdovi Mravenci. Tyto role – spolu se smutným klaunem v němé hře Diagnóza od Jaroslava Moravčíka – považuje za své stěžejní. Přestože si cení také odborné kritiky, velmi si váží názoru diváka, a ač uvažoval o změně povolání, nakonec se rozhodl u divadla zůstat.